Limit Fungsi

PENGANTAR :

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

STANDAR KOMPETENSI    : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

pemecahan masalah.

 

KOMPETENSI DASAR         :  6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik

dan di takhingga.

6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk

tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

TUJUAN PEMBELAJARAN :

1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di  tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.
3. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di satu titik.
4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
6. Menghitung limit fungsi  aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat  limit

.

KEGIATAN BELAJAR      :

1.        I.      Judul sub kegiatan belajar :
2. Pengertian Limit Fungsi
3. Sifat-sifat limit fungsi
4. Limit Fungsi bentuk tak tentu
5. Limit Fungsi Trigonometri

1.     II.      Uraian materi dan contoh

 

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

 

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas

Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.

Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim  F(x) = A

x→a

Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….

nSubtitusi langsung.

nFaktorisasi.

nMengalikan dengan bilangan sekawan.

nMembagi dengan variabel pangkat tertinggi.

 

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI

Berapa teorema limit:

Bila  Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B

x → a                  x →a

Maka

1. Lim   [k.f(x)]    = k Lim f(x)

x→a                       x→a

= k. A

2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)

x→a                      x→a          x→a

= A + B

 

3.  Lim [f(x) x g(x)]

x→a

= Lim f(x) x Lim g(x)

x→a          x→a

= A x B

4.  Lim        f(x)        Lim f(x)

x→a      g(x)    = x→a      . =  A

Lim g(x)      B

x→a

n                      n         n

5.  Lim  f(x).     =   Lim f(x)     =  A

x→a                   x→a

n                n                       n

6.  Lim     √ f(x)   =   √ Lim f(x)    =  √ A

x→a                         x→a

Soal latihan:

1. Nilai dari  Lim  3x  adalah….

x→2

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 6

Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6

x→2

Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6

x→2           x→2

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….

x→2

a. -2

b.  2

c.  4

d.  6

e.  8

Pembahasan:

Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8

x→2

3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….

x →  3

a. -6

b.  8

c. 12

d. 14

e. 16

Pembahasan 1:  Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12

x→3                x→3

Pembahasan 2:   Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x

x→3               x→3       x→3

= 6(3) – 2(3)

= 18 – 6 = 12

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU

Limit fungsi bentuk   0

0

Jika f(x) = (x-a).h(x)

g(x) = (x-a).k(x)

Maka:  Lim   f(x)    =  Lim   (x-a).h(x)   =   Lim   h(x)   =  h(a)

x→a  g(x)        x→a  (x-a).k(x)        x→a  k(x)       k(a)

Limit Fungsi Bentuk   ~

~

Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut:  Lim    axⁿ  +  bx^n-1 +  cx^n-2 + …+ d   =  R

x→~    px^m  +  qx^m-1  +  rx^m-2   + … +  s

Maka:

1. R= 0  jika n<m

2. R= a  jika n=m

p

3. R= ~ jika n>m

Limit Fungsi Bentuk (~ – ~)

a.  Lim    √ ax +b – √  px +q    =  R

x→~

Maka:   1. R=  ~  jika  a>p

2. R=  0   jika  a=p

3. R= -~  jika  a<p

b.  .  Lim    √ ax² + bx + c  –  √  px ² + qx + r   =  R

x→~

Maka:      1. R= ~ jika a>p

2. R =  b-q   jika a=p

2√a

3. R= -~ jika a<p

 

Contoh Soal

1. Nilai dari   Lim     x⁴ – 3x² + 4x   adalah….

x→0   2x³ – x² – 2x

 

Pembahasan:  Lim    x⁴ – 3x² + 4x   =  0⁴ – 3.0² + 4.0   =   0

x→0   2x³ – x² – 2x        20³ – 0² – 2.0         0

Jika 0 didistribusikan menghasilkan (bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan cara faktorisasi .

Maka:    Lim     x⁴ – 3x² + 4x   =    Lim    x   x³ – 3x + 4

x→0   2x³ – x² – 2x           x→0  x    2x² – x – 2

=   Lim       x³ – 3x + 4

x→0     2x² – x – 2

=   0 – 0 + 4

0 – 0 – 2

                                                 =   -2

2. Nilai dari  Lim      x² – 4      adalah….

x→2  x² + x – 6

Pembahasan:  Lim      x² – 4     =    Lim    (x – 2) ( x + 2 )

x→2  x² + x – 6        x→2  (x – 2) ( x + 3)

=    Lim    (x + 2)

x→2   (x + 3 )

=   2 + 2

2 + 3

=   4

5

3. Nilai dari  Lim   4x² + 3x – 6       adalah ….

x→~  2x² – 8x -1

Pembahasan

Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)

Lim  4x² + 3x – 6    =    4   =  2

x→~  2x² – 8x -1          2

4. Nilai dari  Lim  √ 4×2 – 2x + 6  –  √ 4×2 + 2x -1        adalah….

x→~

Pembahasan:

R  =  b – q   =  -2 – 2  =  -4  =  -4  =  -1

2√a            2√4         2.2        4

5. Nilai dari Lim   (8x – 2)²    adalah….

x→~  (4x + 1)²

 

Pembahasan:  Lim   (8x – 2)² .=  Lim    64x² – 32x  + 4

x→~  (4x + 1)²      x→~    16x² + 8x  + 1

=  64  =   4

16

6. Nilai dari  Lim    x² – x    adalah….

x→0  x² + 2x

 

Pembahasan: Lim    x² – x    =  Lim   x ( x – 1 )

x→0  x² + 2x        x→0  x (x + 2)

=  Lim    x – 1

x→0  x + 2

=   0 – 1

0 + 2

=  -1

2

7. Nilai dari  Lim   6x³ –  4x² + 2x – 1    adalah….

x→~  3x⁴ – 2x³ + 5x + 2

Pembahasan:

Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4

Jadi   n < m sehingga nilai  R = 0

8. Nilai dari   Lim     2x² + 5x – 12   adalah….

x→-4  3x² – 13x – 4

Pembahasan:

Lim     2x² + 5x – 12

x→-4  3x² – 13x – 4

=   Lim     (2x – 3) (x – 4)

x→-4  (3x + 1) (x – 4)

=   Lim     (2x – 3)

x→-4  (3x + 1)

=   2(-4) – 3   =  11

3(-4 ) + 1       13

9. Nilai dari  Lim 2x² + 4x – 10   adalah….

x→~   4x² + 7

Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat dibawah

Maka   2  =   1

4              2

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri

1.  Lim      x    =  1                  diperoleh   lim   sin x  =  1

x→0  sin x                                           x→0  x

2.  Lim    tan x  =  1                diperoleh   lim    x       =  1

x→0     x                                            x→0  tan x

Akibatnya :

1. lim     sin ax   =  1

x→0     ax

2. lim       ax       =  1

x→0   sin ax

3. lim     tan ax   =  1

x→0     ax

4. lim         ax   =  1

x→0    tan ax

Contoh : 1.  lim     sin 3x   = .  lim   3  sin 3x   =  3   lim    sin 3x .   =  3 . 1  =  3

x→0      2x            x→0 2     3x          2   x→0   3x             2           2

2.    lim         4x     =  . lim     4    5x       =  4  lim       5x        =  4

x→0    tan 5x        x→0   5  tan 5x       5   x→0  tan x          5

3.  lim     sin 3x   =  lim    3  sin 3x  .    7x     =  3  lim     sin 3x  lim      7x

x→0  tan 7x       x→0  7    3x       tan 7x       7  x→0    3x      x→0  tan 7x

=  3  .  1  .  1

7

=  3

7

4.  lim   1 – cos 2x   =  lim    1 – ( 1 – 2 sin 2 x)

x→0       3x²             x→0           3x²

= lim    2 sin ²x

x→0     3x²

= 2    lim   sin x    ²

3    x→0  x²         

1.  III.      Latihan                                                             

Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar

1. Nilai dari   Lim     x⁴ – 3x² + 4x   adalah….

x→0   2x³ – x² – 2x

2. Nilai dari  Lim      x² – 4      adalah….

x→2  x² + x – 6

3. Nilai dari  Lim   4x² + 3x – 6       adalah ….

x→~  2x² – 8x -1

4. Nilai dari  Lim  √ 4×2 – 2x + 6  –  √ 4×2 + 2x -1        adalah….

x→~

5. Nilai dari Lim   (8x – 2)²    adalah….

x→~  (4x + 1)²

6. Nilai dari  Lim    x² – x    adalah….

x→0  x² + 2x

7. Nilai dari  Lim   6x³ –  4x² + 2x – 1    adalah….

x→~  3x⁴ – 2x³ + 5x + 2

8. Nilai dari   Lim     2x² + 5x – 12   adalah….

x→-4  3x² – 13x – 4

9. Nilai dari  Lim 2x² + 4x – 10   adalah….

x→~   4x² + 7

10. lim 1 – cos x    =  …

x→0  x tan x

11. lim     4  x cot x      adalah …

x→0   3

12.  lim  sin (a + x) – sin (a – x )  adalah  …

x→0               x